Вариант боев 5 (8)

Решение. Приведем к общему знаменателю все три выражения и получим:

, , .

Произведение этих выражений равно 1, значит, все они могут быть целыми только в том случае, если каждое из них равно 1 или –1.

Если все три выражения равны 1, то

 Û 

Из условия задачи следует, что abc ¹ 0, значит, (a – b)(b – c)(c – a) ¹ 0. Однако, разделив первое уравнение системы на второе, получим a : с = a² : c², откуда a = c. Противоречие.

Если два выражения равны –1 (например, первое и второе), а третье равно 1, то

Здесь из первого уравнения следует, что c³ + (ca)b = 2ac × c, и с учетом третьего уравнения имеем c³ + b³ = 2b²c. Тогда

c³ + b³ – 2b²c = c³ – b³ + 2b³ – 2b²c = (с – b)(c² + cb + b²) + 2b²(b – c) =

= (c – b)(c² + cb – b²) = 0.

Поскольку b ¹ c и b ¹ 0, то c² + cb – b² = 0, откуда

.

Значит, число c/b — корень уравнения t² + t – 1 = 0. Но корни этого уравнения иррациональны — противоречие.

Автор задачи — В. Каскевич