Вариант боев 4 (10)

6.

Степану Фомичу 23 февраля 2001 года выдали премию: 250 рублей 00 копеек. Он решил, используя эти деньги, заработать больше и купить жене подарок. Для этого, начиная со следующего дня, он стал ежедневно посещать казино, где каждый день либо выигрывал 20 рублей, либо проигрывал ровно половину имеющихся у него денег. Подсчитав свои доходы накануне 8 марта, Степан Фомич выяснил, что остался в выигрыше, но барыш оказался невелик — меньше трех рублей. Сколько именно?

7.

Найдите все пары простых чисел (p, q) при которых уравнение

x⁴ + (q – 2)x = p – 4

имеет, по крайней мере, один целый корень.

8.

В однокруговом хоккейном турнире все команды набрали разное число очков. (В хоккее за победу дается 2 очка, за ничью 1 очко и за поражение 0 очков.) Оказалось, что команда, занявшая последнее место, выиграла не менее 25% своих матчей, а команда, занявшая второе место, выиграла не более 40% своих матчей. Какое наибольшее количество команд могло участвовать в этом турнире?

9.

Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы ровно половина из них не угрожала никому из остальных?

10.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки E и F (точка E расположена между точками A и F) такие, что треугольник CEF — равносторонний; точка D — середина гипотенузы. Докажите, что ÐDCF = 2 × ÐACE.