Вариант боев 4 (10)

1.

На турнир съехалось 105 школьников. Оказалось, что среди любых пятнадцати есть школьники, знакомые между собой. Кроме того, любые два школьника, имеющие одинаковое количество знакомых среди участников турнира — не знакомы между собой, а имеющие разное количество знакомых — знакомы между собой. Докажите, что среди участников найдется школьник, знакомый со всеми остальными.

2.

Биссектрисы АА₁, ВВ₁, СС₁ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что из отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁ можно составить остроугольный треугольник.

3.

На шахматной доске, первоначально пустой, расставляются пешки по следующим правилам: выбираются любые четыре пустые клетки, центры которых являются вершинами квадрата со сторонами, параллельными сторонам доски, после чего на одну из этих клеток ставится пешка. Затем выбираются аналогичные четыре пустые клетки, на них снова ставится пешка, и так далее. Какое наибольшее число пешек можно расставить на доске, соблюдая эти правила?

4.

Палиндромом называется натуральное число, которое не изменится, если его цифры записать в обратном порядке. Докажите, что для любого простого р > 150 существует палиндром, делящийся на р и содержащий не более 0,23р цифр.

5.

В трапеции ABCD основание BC вдвое меньше AD; DD₁ — перпендикуляр, опущенный на прямую AB. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника BCD₁, касается стороны AD, то трапеция — равнобокая.