1863
358
469
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Вариант боев 1 (8)

Найдите все натуральные n, которые равны сумме некоторых трех различных натуральных делителей числа n – 1.

Ответ: 13, 31.

Решение. Пусть n = x + y + z, где x, y, z — натуральные делители числа n – 1, причем x > y > z.
Если x не превышает трети числа n – 1, то два других делителя менее трети числа n – 1, то есть их сумма меньше n – 1, а значит менее числа n. Поэтому
x = (n - 1) : 2,
n - x = n - (n - 1) / 2 = (n + 1) / 2 = y + z.
Рассуждая аналогично, получим, что y = (n - 1) : 3,
Тогда z = n - x - y = (n + 1) : 2 - (n - 1) : 3 = (n + 5) : 6 > (n - 1) : 6.
Имеются, таким образом, две возможности: z = (n - 1) : 4 и z = (n - 1) : 5.
Решив уравнения
n = (n - 1) : 2 + (n - 1) : 3 + (n - 1) : 4,
n = (n - 1) : 2 + (n - 1) : 3 + (n - 1) : 5,
находим n = 13 и n = 31 соответственно.

Автор задачи — С.Токарев, г.Иваново

 10 Ноября 2003     22:03 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу