Вариант боев 1 (8)

Ответ: больше трехчленов, не имеющих действительные корни.

Решение. Рассмотрим, сколько среди пар вида (а, b), где а, b — натуральные числа, не превосходящие 100, таких, в которых b ³ 2a. Для a = 1 имеем 99 пар с этим свойством: (1, 2), (1, 3), …, (1, 100), для a = 2 их будет 97: (2, 4), (2, 5), …, (2, 100) и так далее, для a = 50 — одна пара: (50, 100), при a > 50 — ни одной. Значит, имеется ровно

99 + 97 + 95 + … + 1 = 2500

таких пар. Поэтому среди троек вида (а, b, c), где а, b, c — натуральные не превосходящие 100 числа, будет ровно 2500×100 = 250000 троек, в которых b ³ 2a. Точно таким же будет и количество троек, в которых b ³ 2с. Следовательно, имеется не менее чем 100³ – 2×250000 = 500000 троек (a, b, c), в которых b < 2a и b < 2c. Для каждой такой тройки выполняется неравенство b² – 4ac < 0, означающее, что трехчлен ax² + bx + c не имеет действительных корней.

То есть 500 000 трехчленов не имеет действительных корней — это ровно половина от общего числа многочленов (всего их 100³). Но в оставшейся половине есть многочлены, которые также не имеют корней, например, трехчлен 2x² + 2x + 1, для которого неравенство b < 2c не выполнено, также не имеет действительных корней.

Значит, многочленов, не имеющих действительных корней, больше.

Автор задачи — С.Токарев, г.Иваново