1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Личная олимпиада (7)

Натуральное число разрешено увеличить на любое целое число процентов от 1 до 100, если при этом получаем натуральное число. Найдите наименьшее натуральное число, которое нельзя при помощи таких операций получить из числа 1.

Ответ: 211. Решение. Легко получить числа 2, 3, 4 и 5. Если 5 < k £ 10, то число k получается увеличением числа 5 на 20(k – 5) процентов. Из числа 10 легко получаются все числа, не превосходящие 20, а из 20 — числа 21, 22, 23, 24 и 25. Далее, если 25 < k £  50, то число k получим, увеличив 25 на 4(k – 25) процентов, а если 50 < k £ 100, то k равно числу 50, увеличенному на 2(k – 50) процентов. Возможность получения чисел от 101 до 200 из числа 100, а также чисел 202, 204, 205, 206, 208 и 210 из числа 200 очевидна. Числа 201 и 207 — это увеличенные на 50% числа 134 и 138 соответственно. Число 203 получается увеличением 140 на 45%, а 209 — увеличением 190 на 10%. Итак, все натуральные числа, меньше 211, из числа 1 получить можно.

Покажем, что число 211 при помощи наших операций получить нельзя. В самом деле, если бы число 211 получили из числа m увеличением на n процентов, то имело бы место равенство 211 = m + mn / 100, которое равносильно равенству 21100 = m(100 + n). А оно невозможно, поскольку 211 — простое число, превышающее числа m и 100 + n (ни m, ни 100 + n, ни m(100 + n) делиться на 211 не могут).

Автор задачи — А.Шаповалов, г.Стокгольм
 1 Ноября 2003     13:17 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу