Личная олимпиада (7)

Ответ: 211. Решение. Легко получить числа 2, 3, 4 и 5. Если 5 < k £ 10, то число k получается увеличением числа 5 на 20(k – 5) процентов. Из числа 10 легко получаются все числа, не превосходящие 20, а из 20 — числа 21, 22, 23, 24 и 25. Далее, если 25 < k £  50, то число k получим, увеличив 25 на 4(k – 25) процентов, а если 50 < k £ 100, то k равно числу 50, увеличенному на 2(k – 50) процентов. Возможность получения чисел от 101 до 200 из числа 100, а также чисел 202, 204, 205, 206, 208 и 210 из числа 200 очевидна. Числа 201 и 207 — это увеличенные на 50% числа 134 и 138 соответственно. Число 203 получается увеличением 140 на 45%, а 209 — увеличением 190 на 10%. Итак, все натуральные числа, меньше 211, из числа 1 получить можно.

Покажем, что число 211 при помощи наших операций получить нельзя. В самом деле, если бы число 211 получили из числа m увеличением на n процентов, то имело бы место равенство 211 = m + mn / 100, которое равносильно равенству 21100 = m(100 + n). А оно невозможно, поскольку 211 — простое число, превышающее числа m и 100 + n (ни m, ни 100 + n, ни m(100 + n) делиться на 211 не могут).