358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Бой за III место (8)
г.Рыбинск(2) - Гимназия(г.Ростов) (18 марта 2001 г.)
Докажите, что натуральное число n является составным тогда и только тогда, когда существуют такие натуральные числа a, b, x и y, что a + b = n и x / a + y / b = 1. |
Если n = pq, то возьмем a = p, b = pq – p, x = p – 1, y = q – 1. Легко видеть, что эти числа удовлетворяют условию. Теперь докажем обратное утверждение. Пусть нашлись удовлетворяющие условию натуральные числа a, b, x и y. Предположим противное: n — простое число. Преобразуем второе равенство из условия: bx + ay = ab. Из первого равенства условия: b = n – a, тогда (n – a)x + ay = a(n – a), откуда n(x – a) + ay = a(x – a), отсюда n(x – a) делится на a. Число n — простое, отличное от a (иначе b = 0 — не натуральное), значит, (x – a) делится на a, значит и число x делится на a. То есть x = ak, где k — натуральное число. Продолжим преобразования: nak – a2k + ay = an – a2, после сокращения на a, группировки получим: k(n – a) + y = n – a, отсюда y = l(n – a), где l — натуральное. Подставляя во второе равенство условия, после сокращения получим k + l = 1, что невозможно. Получили противоречие, значит число n — составное. |
16 Апреля 2004 21:37 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|