358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
1/4 финала. Вариант 2 (8)
Гимназия (г.Ростов) - Школа №33(2) (21 февраля 2001 года)
Стороны прямоугольного треугольника — целые числа. Доказать, что его площадь делится на 6. |
Пусть длины катетов равны a и b, длина гипотенузы — c, площадь — S. По теореме Пифагора a2 + b2 = c2. Площадь треугольника: S = ab / 2. Необходимо доказать, что ab делится на 12. а) Докажем, что ab делится на 3. Квадрат целого числа при делении на 3 дает остаток 0 или 1. Если a и b не делятся на 3, то a2 и b2 при делении на 3 дают остаток 1, откуда c2 при делении на 3 дает остаток 2, что невозможно. Поэтому ab делится на 3. б) Докажем, что ab делится на 2. Квадрат целого числа при делении на 4 дает остаток 0 или 1. Если a и b не делятся на 2, то a2 и b2 при делении на 4 дают остаток 1, откуда c2 при делении на 4 дает остаток 2, что невозможно. Поэтому ab делится на 2. a2 = c2 – b2 = (c – b)(c + b). Оба множителя делятся на 2. Если b и c дают одинаковые остатки при делении на 4, то их разность делятся на 4, если разные (1 и 3), то сумма делится на 4. То есть, один из сомножителей делится на 4. Тогда a2 делится на 8, значит, и на 16. Тогда a делится на 4, и в этом случае, ab тоже делится на 4. Таким образом, ab делится на 3 и на 4, тогда ab делится на 12, что и требовалось доказать. |
16 Апреля 2004 21:11 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|