358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
1/8 финала. Вариант 2 (8)
Задачи боя "Школа №33(2) - Школа №33(3)"
29 ноября 2000 года
Диагонали некоторого плоского четырехугольника, последовательные стороны которого имеют длины a, b, c, d, перпендикулярны. Доказать, что диагонали любого другого плоского четырехугольника, последовательные стороны которого имеют те же длины a, b, c, d, также перпендикулярны. |
Докажем, что диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны тогда и только тогда, когда AB2 + CD2 = AD2 + BC2. Отсюда будет следовать утверждение задачи. Пусть точка O — пересечение диагоналей четырехугольника ABCD. 1) Если диагонали перпендикулярны, то из треугольников ABO, BCO, CDO, DAO имеем AB2 = AO2 + BO2, CD2 = CO2 + DO2, BC2 = BO2 + CO2, DA2 = DO2 + AO2, откуда AB2 + CD2 = AD2 + BC2 = AO2 + BO2 + CO2 + DO2. 2) Если диагонали четырехугольника ABCD не перпендикулярны (пусть ÐAOB — острый), то из треугольников ABO, BCO, CDO, DAO имеем AB2 < AO2 + BO2, CD2 < CO2 + DO2, BC2 > BO2 + CO2, DA2 > DO2 + AO2, откуда AB2 + CD2 < AO2 + BO2 + CO2 + DO2, AD2 + BC2 > AO2 + BO2 + CO2 + DO2, то есть AB2 + CD2 ¹ AD2 + BC2. Утверждение доказано. |
17 Марта 2004 21:22 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|