Весна 2003 года (25)

Ответ: всего 188 чисел.

Пусть искомое число состоит из цифр a, b, c в следующем порядке: abc.

При сложении может получиться трехзначное или четырехзначное число. Рассмотрим оба случая.

Если в ответе получаем трехзначное число, первая и третья цифра в сумме должны давать число, меньшее десяти, иначе сумма будет числом четырехзначным, то есть а + с < 10. Так как число не может начинаться на 0, то цифры а и с больше 0, то есть а + с > 1 (если а + с = 1, то одна из цифр равно нулю). А так же b < 5, иначе полученное трехзначное число не будет одинаково читаться справа налево и слева направо. Разберем все случаи для значения а + с.

Если а + с = 2, то a = 1 и с = 1. И так как для цифры b возможно 5 вариантов (0, 1, 2, 3, 4), то таких чисел 5.

Если а + с = 3, для a и c возможны следующие варианты пар: (1;2) и (2;1). И всего получаем 10 чисел.

Если а + с = 4, для a и c возможны следующие варианты пар: (1;3), (2;2) и (3;1). И всего получаем 15 чисел.

Если а + с = 5, для a и c возможны следующие варианты пар: (1;4), (2;3), (3;2) и (4;1). И всего получаем 20 чисел.

Аналогично находим, что если а + с = 6, то чисел будет 25. При а + с = 7, чисел будет 30. При а + с = 8, чисел будет 35 и если а + с = 9, то получим 40 чисел.

Таким образом, если в сумме получается трехзначное число, то вариантов исходного числа может быть 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 +35 + 40 = 180.

Пусть теперь в ответе получается четырехзначное число. При этом четырехзначное число не может быть больше 1998 (999 + 999), то есть оно начинается (и закончивается) на 1. Тогда а + с = 11, откуда вторая и третья цифры суммы равны 1 или 2. Не трудно проверить, что подойдет только один вариант: 1111.

Трехзначных чисел, для которых сумма равна 1111, восемь: 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803 и 902.

Всего получаем 188 чисел.