Весна 2002 года (24)

Ответ: при всех n, кратных 5.

Число 11…1 можно представить в виде:
11111 × 100…0 + 11111 × 100…0 + … + 11111 × 100…0 + X,
где X – число, состоящее из одной, двух, трех, четырех или пяти единиц.
Например, 111111111111 = 11111 × 10000000 + 11111 × 100 + 11.

Так как число 11111 делится на 41 без остатка (11111 : 41 = 271), то все слагаемые вида 11111 × 100…0 делятся на 41 без остатка.

Если число X состоит из одной, двух, трех или четырех единиц, то оно не делится на 41, значит и число из n единиц не делится на 41.

Если же число X состоит из пяти единиц, то исходное число делится на 41.

Таким образом, число 11…1 делится на 41, если его можно представить в виде, указанном выше, и при этом X = 11111, то есть количество единиц кратно пяти.