Весна 2002 года (24)

Ответ: возможно 6 вариантов недостающих трех цифр:
(1, 2, 7); (1, 3, 6); (1, 0, 9); (6, 7, 9); (3, 6, 7); (3, 7, 9).

Известно всего три цифры: 4, 5 и 8. Возможны два существенно различных варианта расположения этих цифр на гранях: какие-то две из этих цифр расположены на противоположных гранях и никакие из этих цифр не находятся на противоположных гранях. Рассмотрим эти случаи.

Никакие из цифр 4, 5 и 8 не находятся на противоположных гранях. Наименьшая сумма двух цифр на противоположных гранях – 8, так как на одной грани уже есть цифра 8. А наибольшая сумма – 13 (4 + 9). Обозначим сумму на двух противоположных гранях через S. Если S = 8, то напротив грани с цифрой 4 будет грань, на которой также цифра 4, что не удовлетворяет условию задачи. Если S = 9, то напротив грани с цифрой 4 будет грань с цифрой 5, но в нашем случае эти грани не противоположные. Если S = 10, то напротив грани с цифрой 5 будет грань с цифрой 5, что невозможно. Если S = 11, то напротив грани с цифрой 4 будет грань с цифрой 7, напротив 5 – 6, напротив 8 – 3. Этот случай подходит и недостающая тройка чисел (3, 6, 7). Если S = 12, то грани с цифрами 4 и 8 будут противоположными. И, наконец, если S = 13, то грани с цифрами 5 и 8 будут противоположными.

Рассмотрим случаи, когда какие-то две из известных цифр расположены на противоположных гранях.

Если грани 4 и 8 противоположные, то S = 12. Тогда напротив грани с цифрой 5 будет грань с цифрой 7. Остались две пустые противоположные грани, на которых сумма цифр должна быть 12. Из неиспользованных цифр 0, 1, 2, 3, 6, 9 сумму 12 дают только цифры 9 и 3. Получаем еще один вариант (3, 7, 9).

Если грани 5 и 8 противоположные, то S = 13. Тогда напротив грани с цифрой 4 будет грань с цифрой 9. Из неиспользованных цифр 0, 1, 2, 3, 6, 7 сумму 13 дают только цифры 6 и 7. Получаем вариант (6, 7, 9).

Если грани 5 и 4 противоположные, то S = 9. Тогда напротив 8 стоит 1. Из неиспользованных цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9 сумму 9 дают цифры 0 и 9, 2 и 7, 3 и 6. Здесь получаем еще три варианта: (1, 2, 7); (1, 3, 6) и (1, 0, 9).