358
470
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Вторая лига (8)
Можно ли положить на плоскость несколько монет (не обязательно одинаковых) без наложений, чтобы каждая касалась шести других? |
Ответ: нельзя. Равными по размерам все монеты быть не могут, так как иначе крайняя монета касается менее чем шести других монет. Пусть есть монеты разных размеров. Рассмотрим монету A самого малого радиуса (точка O — ее центр), которая касается хотя бы одной монеты большего размера. Пусть O1, O2, …, O6 — центры монет, касающихся монеты A, в порядке обхода по часовой стрелке. В каждом из треугольников OO1O2, OO2O3, …, OO5O6, OO6O1 сторона, лежащая напротив угла O имеет наибольшую длину. Поэтому, каждый из углов O этих треугольниках не менее 60°, а по крайней мере в одном треугольнике более 60° (в этом треугольнике одна из вершин — центр монеты большего радиуса, нежели радиус монеты A). То есть сумма этих углов более 360°. С другой стороны, шестиугольник O1O2…O6 выпуклый, а внутри него расположена точка O, значит, сумма этих шести углов должна равняться 360°. Противоречие. Значит, расположить монеты требуемым образом нельзя. |
28 Февраля 2004 23:08 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|