1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Вторая лига (8)

Натуральное число n называется приятным, если каждый выпуклый
n-угольник обладает свойством: “Среди углов n-угольника найдутся три, градусные меры которых численно равны сторонам некоторого треугольника”. Найдите наименьшее приятное число.

Ответ: 5.

Числа 3 и 4 приятными не являются. Примеры: треугольник с углами 10°, 10° и 160° и четырехугольник с углами 40°, 50°, 100° и 170°.

Покажем, что в любом пятиугольнике такие три угла найдутся. Предположим противное. Пусть углы пятиугольника равны a1, a2, …, a5 градусов, причем a1 £ a2 £ a3 £ a4 £ a5 < 180. Тогда a3 + a4 £ a5 и a1 + a2 £ a5. Поэтому

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = (a1 + a2) + (a3 + a4) + a5 £ a5 + a5 + a5 =

= 3a5 < 3 × 180 = 540,

то есть сумма углов пятиугольника меньше 540°. Но сумма углов любого пятиугольника равна 540°. Противоречие.

Авторы: Е. Барабанов, И. Воронович.

 28 Февраля 2004     22:55 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу