Первая лига (8)

Ответ:
0,25(n + 1)(n + 3), если n — нечетное число,
0,25n(n + 4), если n — четное число.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть n — нечетное число, n = 2m + 1 (m — натуральное число). Тогда наибольшее из произведений не меньше (т + 1) × (m + 2). Допустим, что существует такая расстановка чисел, для которой любое из произведений соседних чисел строго меньше (т + 1) × (т + 2). Тогда никакие два из (m + 1)-го числа от т + 1 до 2т + 1 не должны стоять рядом. Это невозможно, так как этих чисел больше половины.

С другой стороны, существует расстановка, в которой максимальное произведение равно (т + 1) × (т + 2). Пронумеруем по кругу места от 1 до 2т + 1. На нечетные места расставим числа 1, 2, 3, …, т + 1, а на четные — числа от 2т + 1 до т + 2 (по убыванию). Например, для т = 5 расстановка будет такова: 1, 11, 2, 10, 3, 9, 4, 8, 5, 7, 6. Рассмотрим произвольное число k от 2 до m. Слева от него стоит число 2т + 3 – k, справа — число 2т + 2 – k. Достаточно проверить, что k × (2т + 3 – k) не превышает (т + 1) × (т + 2). Действительно

k × (2т + 3 – k) = (m + 1,5)² – (m + 1,5 – k)² £
£  (m + 1,5)² – 1,5² = m² + 3m < (т + 1) × (т + 2).

Осталось рассмотреть произведения с числами 1 и т + 1. Это 1 × (т + 1), 1 × (2т + 1) и (т + 1) × (т + 2). Все они не превышают (т + 1) × (т + 2).

Значит, если п — нечетное число, то наименьшее значение наибольшего из произведений соседних чисел равно (m + 1)(m + 2) = 0,25(n + 1)(n + 3).

2) Пусть п — четное число, п = 2т (т — натуральное число). Тогда наибольшее из произведений не меньше m × (т + 2). Допустим, что существует такая расстановка чисел, для которой любое из произведений соседних чисел строго меньше т × (т + 2). Тогда никакие два числа от т + 1 до 2т не могут стоять рядом. Так как этих чисел ровно половина, то по обе стороны от числа m стоят числа, большие чем m. Тогда одно из произведений не менее чем т × (т + 2). Противоречие.

С другой стороны, существует расстановка, в которой максимальное произведение равно т × (m + 2). Построим ее аналогично первому случаю: на места с нечетными номерами поставим числа 1, 2, 3, …, т по возрастанию, на четные места — числа от т + 1 до 2т по убыванию. Например, для т = 5 расстановка будет такова: 1, 10, 2, 9, 3, 8, 4, 7, 5, 6. Рассмотрим произвольное число k от 2 до m. Числа, соседние с ним, —2т + 2 – k и 2т + 1 – k. Достаточно проверить, что k × (2т + 2 – k) не превышает т × (т + 2). Действительно:

k × (2т + 2 – k) = (m + 1)² – (m + 1 – k)² £
£  (m + 1)² – 1 = m² + 2m < т × (т + 2).

Осталось рассмотреть произведения с числами 1 и т + 1. Это 1 × (т + 1), 1 × 2т и т × (т + 1). Все они не превышают т × (т + 2).

Значит, если п — четное число, то наименьшее значение наибольшего из произведений соседних чисел равно m(m + 2) = 0,25n(n + 4).

Автор: И. Акулич.