1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Первая лига (8)

В прямоугольнике выбрана произвольная точка (внутри или на границе) и соединена отрезками с вершинами прямоугольника. Докажите, что из этих четырех отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.

Обозначим вершины прямоугольника точками A, B, C и D, и проведем два отрезка, соединяющих середины противоположных сторон данного прямоугольника. Эти отрезки разобьют прямоугольник на четыре равных прямоугольника. Пусть для определенности выбранная произвольная точка M принадлежит тому прямоугольнику (возможно, его границе), одна из вершин которого совпадает с точкой A.

Докажем, что из отрезков BM, CM и DM можно составить треугольник. Для этого достаточно убедиться, что сумма любых двух из этих отрезков больше третьего.

Заметим, что CM > BM, потому что точка B лежит по ту же сторону от перпендикуляра к середине отрезка BC, что и точка M. Тогда CM + DM > BM.

Аналогично, CM + BM > DM.

Неравенство BM + DM > CM следует из цепочки неравенств:

BM + DM ³ BD = CA ³ CM.

Если хотя бы одно из неравенств является строгим, то BM + DM > CM. Оба неравенства не могут обращаться в равенства. Действительно, равенство BM + DM = BD выполняется, если точка M лежит на отрезке BD, а равенство CA = CM — если точка M совпадает с точкой A. Но точка A не лежит на отрезке BD, так что одновременное выполнение обоих равенств невозможно.

Авторы: Е. Барабанов, И. Воронович.

 28 Февраля 2004     22:43 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу