1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Первая лига (8)

Клетки квадрата 11 ´ 11 раскрашены в белый и черный цвета. У каждой клетки соседей одного с ней цвета меньше, чем соседей противоположного цвета (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Каково наибольшее возможное количество белых клеток?

Ответ: 63 белые клетки.

Если любые две соседние клетки разного цвета, то раскраска доски шахматная. При этом наибольшее число белых клеток равно 61.

Рассмотрим случай, когда имеются две соседние по горизонтали клетки одного цвета (дубль). Тогда клетки, соседние с клетками этой пары, одного цвета. Значит, под этим дублем и под ним стоят дубли другого цвета. Повторяя рассуждения, делам вывод, что цвет клеток в каждом из двух столбцов, в которых стоят дубли, чередуется. Из этого следует, что если имеется дубль из двух соседних по горизонтали клеток, то нет дубля из двух соседних по вертикали клеток. То есть любые две соседние по вертикали клетки разного цвета, а значит, в каждом столбце цвета клеток чередуются.

Назовем столбец белым, если в нем больше белых клеток (в нем 6 белых и 5 черных клеток), и черным иначе (в нем 5 белых и 6 черных клеток). Никакие три белых столбца не могут идти подряд, иначе в какой-то горизонтали будут идти подряд три белые клетки, средняя из них будет нарушать условие задачи.

Разобьем столбцы на три тройки подряд идущих. В каждой из них имеется четный столбец. Значит, количество белых столбцов не более 11 – 3 = 8. То есть количество белых клеток не превышает 8 × 6 + 3 × 5 = 63. Такая ситуация возможна (показана на рисунке).

Автор: Е. Барабанов.

 28 Февраля 2004     22:32 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу