Вторая лига (8)

Ответ: 27 частей.

Для удобства участника, занявшего i-е место, будем называть i-м участником, а его результат обозначим как K_i.

Из условия следует, что K₁ = 3K₁₀, а также K₁ < K₉ + K₁₀. Из второго условия следует, что K₁ + 1 £ K₉ + K₁₀ или 3K₁₀ + 1 £ K₉ + K₁₀, откуда K₉ ³ 2K₁₀ + 1.

Оценим теперь наименьшее возможное количество частей, образовавшихся у каждого участника. Во-первых, K₁₈ ³ 1. Все спортсмены показали различные результаты. Тогда если номера двух участников различаются на п, то разность между их результатами не меньше п. Поэтому K₁₀ ³ К₁₈ + 8 ³ 9 и K₁ ³ K₉ + 8.

Получаем, что K₉ ³ 2K₁₀ + 1 ³ 2 × 9 + 1 = 19 и K₁ ³ K₉ + 8 ³ 19 + 8 = 27.

Если результаты всех участников наименьшие из возможных, то этот результат удовлетворяет условию и суммарное количество получившихся в результате чемпионата частей равно (1 + 2 +…+ 9) + (19 + 20 +…+ 27) = 252, что меньше 270. Таким образом, результат чемпиона, равный 27 частям, возможен. Покажем, что это единственный ответ.

Убедимся, что при попытке увеличить результат чемпиона суммарное число частей превысит 270. Так как результат чемпиона в 3 раза больше, чем занявшего 10-е место, то K₁ делится на 3. Поэтому если K₁ > 27, то K₁ ³ 30, и тогда K₁₀ = K₁ : 3 ³ 10 и K₉ ³ 2K₁₀ + 1 ³ 2 × 10 + 1 = 21. Как видим, результат спортсмена, занявшего 9-е место, повышается как минимум на 2 по сравнению с его минимально возможным результатом. Но тогда у всех участников, занявших места выше 9-го (то есть со второго по восьмое), результат также возрастет не меньше, чем на 2. У чемпиона же результат возрос не меньше, чем на 3, а результат участника, занявшего 10-е место, — не меньше, чем на 1. Итого суммарное число частей превысит минимально возможное (252) не меньше, чем на 2 × 8 + 3 + 1 = 20 и станет не меньше 252 + 20 = 272, что противоречит условию. Значит, другие результаты у чемпиона невозможны.

Автор: И. Акулич.