Первая лига (8)

Ответ: нет, не верно.

Покажем, что число 1929 нельзя представить как разность двух палиндромов. Предположим, что это возможно. То есть существуют палиндромы A и B, что A – B = 1929.

Случай 1. Пусть числа A и B имеют одинаковое количество цифр. Тогда их первые цифры либо равны, либо первая цифра числа A больше первой цифры числа B на 1. Значит, разность этих чисел оканчивается на 0 или на 1. То есть разностью число 1929 не может быть.

Случай 2. Пусть число A имеет больше разрядов, нежели число B. Если в записи числа A более 4 цифр, то оно начинается с цифры 1 (на эту же цифру оканчивается). Тогда число B начинается и оканчивается на цифру 2. Но если к такому числу B прибавить 1929, то количество разрядов суммы не превысит четырех. Противоречие.

Значит, число A имеет 4 разряда. Оно начинается (и оканчивается) на 1 или 2. Тогда число B начинается (и оканчивается) соответственно на 2 или 3. То есть имеет место один из случаев:

1**1 – 2*2 = 1929, 1**1 – 22 = 1929, 1**1 – 2 = 1929,

2**2 – 3*3 = 1929, 2**2 – 33 = 1929, 2**2 – 3 = 1929.

Проверка второго, третьего, пятого и шестого случая показывает, что они не подходят. В первом случае уменьшаемое должно начинаться с цифры 2, поэтому он также отпадает. Рассмотрим четвертый случай: 1929 + 3*3 = 2**2. Вторая цифра суммы равна 2 или 3. То есть достаточно проверить, являются ли палиндромами числа 2222 – 1929 = 293, 2332 – 1929 = 403 — не являются.

Все возможности рассмотрены, поэтому число 1929 нельзя представить как разность двух палиндромов.

Автор: А. Шаповалов.