Первая лига (10)

1.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности w₁ и w₂ соответственно. Окружность w₃, касающаяся гипотенузы AB и окружности w₁, проведена так, чтобы она в некоторой точке K касалась продолжения катета BC за вершину B. Аналогично, окружность w₄, касается AB, окружности w₂ и в некоторой точке M продолжения катета AC за вершину A. Докажите, что MC + KC = 2AB.

2.

Есть веревочная сетка в виде квадрата 8 × 8, разбитого на ячейки 1 × 1. Какую самую длинную веревку можно из нее вырезать? (От узлов можно отрезать любой конец не нарушая соединения остальных, но нельзя разрезать узел так, чтобы концов не образовалось).

3.

Дано 2000 точек. Рассматриваются всевозможные способы соединить их отрезками трех цветов так, чтобы из каждой точки выходило ровно по одному отрезку каждого цвета, получившийся граф был связным и не имел кратных ребер. Докажите, что количество этих способов делится на 4.

4.

Два игрока по очереди делают ходы в следующей игре: первый ставит на шахматную доску ладью, второй передвигает ее ходом коня, первый передвигает ее ходом слона, затем второй снова — ходом коня и т.д. Ставить ладью на клетку, на которой она уже была, запрещено. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?

5.

Докажите неравенство:
(a + 2b + 3c)² £ 2(a² + 4b² + 9c²) + 8ab.

6.

Натуральные числа 1, 2, …, 100 содержатся в объединении N геометрических прогрессий. Докажите, что N ³ 31.

7.

Докажите, что для любого многочлена P существует многочлен Q такой, что при всех x P(x) = Q(x + 1) – Q(x).

8.

Параллелограмм разрезан на несколько выпуклых многоугольников. Докажите, что один из них можно накрыть всеми остальными вместе.

9.

Докажите, что на ребрах двух единичных кубов можно расставить стрелочки так, что при любом совмещении этих кубов ровно на 6 ребрах обе проведенные стрелочки окажутся одинаково направленными.

10.

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки D, E и F так, что треугольники DEF и ABC подобны (ÐA = ÐD, ÐE = ÐB, ÐF = ÐC). Обозначим через H точку пересечения высот DFAE. Докажите, что длина отрезка HD не зависит от выбора точек D, E и F.