Высшая лига (10)

6.

Какова наименьшая возможная длина последовательности букв русского алфавита, такой что никакая последовательность букв не повторяется два раза подряд, а при приписывании любой буквы справа это условие нарушается?

7.

Кубическая решетка рассечена плоскостью ax + by + cz = 0, a, b и c — натуральные числа, взаимно простые в совокупности. Докажите, что количество различных многоугольников (с точностью до параллельного переноса), не разбитых плоскостями решетки, в этом сечении равно a + b + c.

8.

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки D, E и F так, что треугольники DEF и ABC подобны (ÐA = ÐD, ÐE = ÐB, ÐF = ÐC). Обозначим через H точку пересечения высот DFAE. Докажите, что длина отрезка HD не зависит от выбора точек D, E и F.

9.

Многочлены P(x, y) и Q(x, y) от двух переменных имеют целые коэффициенты. Известно, что при всех целых x и y значение P(x, y) делит значение Q(x, y). Докажите, что существует многочлен R(x, y) такой, что R(x, y) = P(x, y) / Q(x, y).

10.

Даны 2 единичных куба. Сначала Петя расставляет на ребрах обоих кубов стрелочки. Потом Вася совмещает эти кубы. Петя выигрывает, если после совмещения кубов больше половины стрелочек одного куба совпадут с соответствующими стрелочками другого куба, а Вася — если совпадут меньше половины стрелочек. Если совпадет ровно половина стрелочек — ничья. Каким будет результат при правильной игре обоих партнеров?