Высшая лига (10)

6.

Дан правильный многоугольник A₁A₂…A_n и точка O. Точки O₁, O₂, …, O_n — образы точки O при симметрии относительно прямых (A₁A₂), (A₂A₃), …, (A_nA₁), точка H — центр многоугольника.
Докажите, что

7.

У прямоугольного параллелепипеда 1 × 1 × b окрасили одну грань 1 × b и положили его на плоскость этой гранью вниз. Может ли он после 1999 перекатываний оказаться на том же месте, но окрашенной гранью вверх?

8.

Не более 10% жителей некоторой страны — враги народа. Известно, что у каждого гражданина этой страны менее 500 знакомых. На день рождения президента каждый гражданин страны сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо с разоблачением одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа.

9.

Все натуральные числа раскрашены в розовый и голубой цвета так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что существует число, являющееся и суммой двух розовых, и суммой двух голубых.

10.

На клетчатом поле n × n (n > 3) двое по очереди делают ходы. Первый игрок за один ход выставляет не более трех фишек (каждая — черная или белая по желанию игрока) на любые свободные поля. Второй игрок за один ход может переставить одну из стоящих на поле фишек на любое свободное поле. Если в какой-то момент образовались три (или более) фишки одного цвета, идущие подряд (по вертикали, горизонтали или диагонали), они снимаются с доски. Первый выигрывает, если все поля доски оказались заняты. Второй выигрывает, если какая-то позиция повторилась. Кто выиграет при правильной игре?