Задачи для юниоров (6)

1.

Среди некоторых 13 последовательных натуральных чисел семь четных и пять кратных трем. Сколько среди них чисел, кратных 6?

2.

Рыбаки ловили рыбу два дня. В первый день каждый рыбак поймал столько рыб, сколько все остальные вместе во второй день. Докажите, что все рыбаки поймали поровну рыб.

3.

В уравнении
(…x² – …x + …)(…x² – …x + …)(…x² – …x + …) = 0
вместо многоточий подставлены числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 в некотором порядке.
Какое наибольшее число корней может быть у этого уравнения?

4.

Дан параллелограмм ABCD. Проводятся 3 окружности: одна — с центром в точке B и радиусом BA, вторая — с центром в точке D и радиусом DA, третья — описанная около треугольника BCD.
Докажите, что существует точка, через которую проходят все три окружности.

5.

На шахматной доске расставлены n фишек так, что в любом квадрате 3 × 3 находятся ровно 3 фишки.
а) при каком наибольшем n это возможно?
б) при каком наименьшем n это возможно?

6.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном 1999-угольнике. После каждого своего хода игрок платит противнику число рублей равное количеству пересеченных диагоналей. Кто из игроков может получить больше денег независимо от игры противника?