Весна 2001 года (25)

Ответ: 45, 48, 50, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 64, 67.

Любое число, большее семи, можно представить в виде A = 5x + 3y, где x и y — количество "пятерок" и "троек" соответственно. Узнаем, каково может быть наибольшее количество "пятерок" в числе, размениваемом четырьмя способами. Если число разменивается с помощью x "пятерок", то его же можно разменять с помощью (x – 3) "пятерок", а также с помощью (x – 6) и (x – 9) "пятерок". (x – 9) — это минимальное количество "пятерок", которое может присутствовать в числе. В то же время минимальное количество пятерок — 0, 1 или 2; при большем количестве это же число можно разменять еще и "тройками", что увеличивает количество способов. Значит, наибольшее количество "пятерок" — 9, 10 или 11. Будем для каждого числа рассматривать способы, в которых используется наибольшее количество "пятерок". Тогда "троек" надо брать наименьшее количество — 0, 1, 2, 3 или 4. Таким образом, для каждого наибольшего количества "пятерок" получаем 5 различных чисел, то есть всего 15 чисел:

5 × 9 + 3 × 0 = 45

5 × 9 + 3 × 1 = 48

5 × 9 + 3 × 2 = 51

5 × 9 + 3 × 3 = 54

5 × 9 + 3 × 4 = 57

5 × 10 + 3 × 0 = 50

5 × 10 + 3 × 1 = 53

5 × 10 + 3 × 2 = 56

5 × 10 + 3 × 3 = 59

5 × 10 + 3 × 4 = 62

5 × 11 + 3 × 0 = 55

5 × 11 + 3 × 1 = 58

5 × 11 + 3 × 2 = 61

5 × 11 + 3 × 3 = 64

5 × 11 + 3 × 4 = 67

Чтобы получить остальные три способа для каждого числа, надо количество "пятерок" уменьшать на 3, а количество "троек" увеличивать на 5. Покажем, как найти все способы для числа A = 64:

5 × 11 + 3 × 3 = 64

5 × 8 + 3 × 8 = 64

5 × 5 + 3 × 13 = 64

5 × 2 + 3 × 18 = 64.