Осень 2000 года (25)

Вот одна из возможны расстановок:

Ответ пункта (б): сумма принимает единственное значение 12.

Сумма всех чисел от 1 до 7 рана 28. Если в верхний кружок ставить одно из этих чисел, то сумма оставшихся шести чисел должна делиться на 2 (так как они располагаются на двух горизонтальных прямых) и на три (так как они расположены на трех вертикальных прямых). В таком случае в верхний кружочек можно поставить только число 4 (в этом не трудно убедиться, перебрав числа от 1 до 7). Тогда сумма чисел, расположенных на одной прямой равна (28 – 4) : 2 = 12 и других значений сумма принимать не может.

Ответ пункта (в): 12 способов.

Количество способов не зависит от числа, стоящего в верхнем кружочке, так как в нем может стоять только одно число 4. Остальные шесть чисел разбиваются на три пары с одинаковой суммой 8 (1 + 7, 2 + 6, 3 + 4). Так как число 8 можно представить в виде суммы двух чисел от 1 до 7 только этими тремя способами, то количество способов расставить числа в кружочки зависит от количества перестановок этих пар. Эти пары можно менять местами 6 способами (если одна пара стоит на первом месте, то две другие можно поставить на оставшиеся места двумя способами, а так как пар всего три, то способов — 6). Поменяем местами верхний и нижний ряд чисел и получим еще 6 перестановок пар. Таким образом, всего способов 12.