M781 - M800 (20)

M800*

а) На плоскости отмечены все точки с целочисленными координатами — узлы квадратной решетки, и среди них выделен один «начальный» узел O. Для каждого из остальных узлов P проведена прямая, относительно которой узлы O и P симметричны, — серединный перпендикуляр к отрезку OP. Проведенные прямые разбивают плоскость на мелкие части (треугольники и выпуклые многоугольники). Припишем каждой из них натуральное число — ранг — по следующему правилу: часть, содержащая точку O (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничащие с ней по стороне, — ранг 2, части, граничащие с ними по стороне (и отличные от уже рассмотренных) — ранг 3 и т. д. (показано на рисунке). Докажите, что суммарная площадь всех частей ранга r одна и та же при всех натуральных r.

б) Верно ли аналогичное утверждение для произвольной решетки из параллелограммов (в частности, из ромбов с углом в 60°)? Для решетки из правильных шестиугольников?

в) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для кубической решетки в пространстве.