М741 - М760 (20)

1.

M741

а) Найдите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно 30 различных делителей (включая 1 и само число).

б) Укажите все такие числа.

2.

M742

На а) окружности, б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n².

3.

M743

В стране N городов.

а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).

б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее N/2 городов и один из трех видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число N/2 большим, вообще говоря, нельзя.

4.

M744*

В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А₁В₁С₁ (вершины А₁, В₁, С₁ углов, равных по величине ÐА, ÐB, ÐC, лежат соответственно на отрезках ВС, СА и АВ). Пусть А₀, В₀, С₀ — точки пересечения прямых BВ₁ и CС₁, АA₁ и CС₁, BB₁ и AA₁. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников АВС₀, ВСA₀, АСB₀, А₁В₁С₀, А₁В₁С₀, А₁В₁С₀, пересекаются в одной точке.

5.

M745*

а) Задана последовательность чисел (d_n) таких, что ½d_n½£1 (n = 1, 2, ...). Докажите, что можно выбрать последовательность (s_n) из чисел +1 и -1 так, что для всех n выполняется неравенство ½d₁s₁ + d₂s₂ +...+ d_ns_n½£1.

б) Задана последовательность троек чисел (a_n, b_n, c_n) таких, что ½a_n½£1, ½b_n½£1, ½c_n½£1, и a_n + b_n + c_n = 0 (n = 1, 2, ...). По ней строится новая последовательность троек (x_n, y_n, z_n), в которой x_n = y_n = z_n = 0 , а каждая тройка (x_n, y_n, z_n) при n³1 получается из предыдущей (x_n-1, y_n-1, z_n-1) путем прибавления к x_n-1 одного из чисел по нашему выбору, к y_n-1 – другого, к z_n-1 - третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа x_n, y_n, z_n будут по абсолютной величине не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой?

в) Выясните аналогичные вопросы для последовательностей четверок чисел.

6.

M746

Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой l, проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятиугольник. Как нужно провести прямую l, чтобы:

а) полученный девятиугольник имел наибольшую площадь?

б)* в нем помещалась окружность наибольшего возможного радиуса (показано на рисунке)?

7.

M747

а) Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

б)* Внутри выпуклого n-угольника А₁A₂A₃...A_n выбрана точка O так, что сумма векторов равна нулевому вектору, а сумма их длин равна d. Докажите, что периметр этого n-угольника не меньше 4d/n.

в)* Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

8.

M748

а) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней областью параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабола — см. рисунок)

б)* В пространстве расположено несколько непересекающихся конусов. Докажите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли все пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате вращения некоторого угла вокруг его биссектрисы.)

9.

M749*

а) Докажите, что если x₁, x₂, x₃ — положительные числа, то
;
при каких условиях это неравенство превращается в равенство?

б) Докажите, что если x₁, x₂, ..., x_n — положительные числа, то
;
причем равенство возможно только при n = 4.

в) Докажите, что при n > 4 неравенство пункта б) является точным в том смысле, что ни при каком n число 2 в правой части нельзя заменить на большее.

10.

M750

Докажите, что как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в N цветов, найдутся

а) прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линиям сетки — по горизонтальным и вертикальным прямым — см. рисунок а);

б) l горизонтальных и m вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах lm клеток одного цвета (l и m — любые натуральные числа — см. рисунок б);

в) равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при N = 2 (показано на рисунке в);

г)* то же для N = 3.

11.

M751*

На окружности намечены 3k точек, разделяющих ее на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, еще k дуг — длину 2, и остальные k дуг — длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.

12.

M752

Квадратная таблица n×n клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся друг от друга не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:

а) не менее чем [n/2] раз ([a] — целая часть a);

б) не менее чем n раз.

13.

M753

Числа a, b, c лежат на интервале (0, p/2) и удовлетворяют равенствам: cos a = a, sin cos b = b, cos sin c = c. Расположите числа в порядке возрастания.

14.

M754*

а) Существуют ли многочлены P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) от переменных x, y, z такие, что выполнено тождество
(x - y + 1)³P + (y - z - 1)³Q + (z - 2x + 1)³R = 1?

б) тот же вопрос для тождества
(x - y + 1)³P + (y - z - 1)³Q + (z - x + 1)³R = 1.

15.

M755

Внутри тетраэдра выбрана точка M. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки M под углом, косинус которого не больше чем –1/3.

16.

M756*

В стране, кроме столицы, больше 100 городов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединен авиалиниями ровно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так, что возможность попасть из любого города в любой сохранится.

17.

M757

Из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,... нетрудно выделить арифметическую прогрессию длиной 3: 1/2, 1/3, 1/6. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию а) длиной 4? б) длиной 5? в) длиной k, где k — любое натуральное число?

18.

M758*

Какое наименьшее количество чисел можно вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3,... 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?

19.

M759

Внутри выпуклого четырехугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами (т.е. сумма длин всех сторон и диагоналей) равна S₁, расположен другой, для которого эта сумма равна S₂.

a) Может ли величина S₂ быть больше S₁?

б) Докажите, что S₂ < 4S₁/3.

в) Докажите, что если внутри правильного тетраэдра с суммой длин ребер S₁ расположен другой, для которого эта сумма равна S₂, то S₂ < 4S₁/3.

20.

M760

С замкнутой ломаной A₁A₂...A_m, где m нечетно, проделывается такая операция: середины ее звеньев соединяются m отрезками через одну (середина A₁A₂ — с серединой A₃A₄, A₂A₃ — с A₄A₅, ..., A_m-1A_m — с A₁A₂, A_mA₁ — с A₂A₃). С полученной ломаной вновь проделывается эта же операция и т.д. Докажите, что из любой m-звенной ломаной

a) при m = 5 — через 2 шага (показано на рисунке),

б) при m = 7 — через 3 шага,

в) при любом нечетном m — через некоторое (зависящее от m) число шагов получится ломаная, подобная (даже гомотетичная) первоначальной.