M661 - M680 (20)

1.

M661

На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P, Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно.

2.

M662

В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

3.

M663

Найдите все простые числа p, для которых число 2^p + p² — тоже простое.

4.

M664

Дан четырехугольник ABCD площадью S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через N, K, L, M соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника NKLM тоже равна S.

5.

M665

Световое табло состоит из нескольких лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора лампочек (для каждой кнопки — своего). Вначале лампочки не горят.

а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.

б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочек, расположенных в форме прямоугольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочек (проверьте ваш ответ для небольших значений m, n)?

в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

6.

M666

Докажите, что наименьшее общее кратное n натуральных чисел a₁ < a₂ < ... < a_n не меньше na₁.

7.

M667

Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e  = AC – BC.

8.

M668

Последовательность (x_i) определяется условиями x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 2, x_n+1 = x_n-2+2x_n-1. Докажите, что для любого натурального m найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на m.

9.

M669

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что
а) отрезок, соединяющий середины дуг AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг BC и AD;
б) центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDA и DAB, являются вершинами прямоугольника.

10.

M670*

а) Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняется. Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечетно?

11.

M671

Во вписанном четырехугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырехугольника.

12.

M672

Пусть a — натуральное число такое, что 2^a - 2 делится на a (например, a = 3). Определим последовательность (x_n) условиями x₁ = a, x_k+1 = 2^x_k - 1. Докажите, что делится на при любом k.

13.

M673

На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист выбирает одну из них и бьет по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.

а) Покажите, как после пяти ударов шайба C сможет вернуться на свое место, а шайбы A и B поменяться местами.

б) Могут ли все три шайбы A, B и C вернуться на свои прежние места после 25 ударов?

14.

M674

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника ABC окружности совпадает с точкой пересечения высот треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

15.

M675*

Системой разновесов называется совокупность натуральных чисел, из которой нельзя извлечь два различных набора с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 не образуют: 2 + 3 + 4 = 1 + 8). Докажите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из
а) 10 чисел,
б) 11 чисел.
в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.
г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величин не превосходит 5/2.
д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.

16.

M676

Докажите, что для любого натурального n сумма цифр числа 1981^m не меньше 19.

17.

M677

Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка M, являющаяся
а) точкой пересечения медиан;
б) точкой пересечения биссектрис;
в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, МВС, АМС, равны, то треугольник АВС — правильный.

18.

M679

а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке B, третий — четвертого в точке C, а четвертый — первого в точке D . (показано на рисунке). Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке В, третий — четвертого в точке С. а четвертый — первого в точке D. Докажите, что четыре названные точки лежат в одной плоскости.

в) Докажите, что в условиях предыдущей задачи эти четыре точки лежат на одной окружности или на одной прямой.

19.

M680*

Два связиста играют в такую игру. Имеются n телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры изображено на рисунке 3).

а) Выясните, кто выигрывает при n = 4, 5, 6, 7, 8 — начинающий или его партнер?

б) Каков ответ при произвольном n?

в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигрывает. Ответьте на вопросы пунктов а) и б) для этой новой игры.

г) Пусть вначале все узлы попарно связаны кабелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связь в схеме, проигрывает. Вопрос тот же: кто выигрывает при правильной стратегии для n = 4, 5, 6, 7, 8? А для произвольного n?

Замечание. Можно было бы рассмотреть четвертый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связь, выигрывает. Полное исследование этого варианта игры неизвестно.

20.

M678

2m-значное число называется справедливым, если его четные разряды содержат столько же четных цифр, сколько и нечетные. Докажите, что в любом (2m + 1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым (показано на рисунке).