M661 - M680 (20)

11.

M671

Во вписанном четырехугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырехугольника.

12.

M672

Пусть a — натуральное число такое, что 2^a - 2 делится на a (например, a = 3). Определим последовательность (x_n) условиями x₁ = a, x_k+1 = 2^x_k - 1. Докажите, что делится на при любом k.

13.

M673

На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист выбирает одну из них и бьет по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.

а) Покажите, как после пяти ударов шайба C сможет вернуться на свое место, а шайбы A и B поменяться местами.

б) Могут ли все три шайбы A, B и C вернуться на свои прежние места после 25 ударов?

14.

M674

На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника ABC окружности совпадает с точкой пересечения высот треугольника A₁B₁C₁. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

15.

M675*

Системой разновесов называется совокупность натуральных чисел, из которой нельзя извлечь два различных набора с одинаковой суммой (например, числа 24, 23, 22, 20, 17, 11 образуют систему разновесов, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 8 не образуют: 2 + 3 + 4 = 1 + 8). Докажите, что из чисел, меньших 1000, можно выделить систему разновесов из
а) 10 чисел,
б) 11 чисел.
в) Докажите, что 14 чисел из них выбрать нельзя.
г) Докажите, что если числа образуют систему разновесов, то сумма их обратных величин не превосходит 5/2.
д) Выберите из чисел, меньших 700, систему разновесов из 11 чисел.

16.

M676

Докажите, что для любого натурального n сумма цифр числа 1981^m не меньше 19.

17.

M677

Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка M, являющаяся
а) точкой пересечения медиан;
б) точкой пересечения биссектрис;
в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, МВС, АМС, равны, то треугольник АВС — правильный.

18.

M679

а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке B, третий — четвертого в точке C, а четвертый — первого в точке D . (показано на рисунке). Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке В, третий — четвертого в точке С. а четвертый — первого в точке D. Докажите, что четыре названные точки лежат в одной плоскости.

в) Докажите, что в условиях предыдущей задачи эти четыре точки лежат на одной окружности или на одной прямой.

19.

M680*

Два связиста играют в такую игру. Имеются n телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры изображено на рисунке 3).

а) Выясните, кто выигрывает при n = 4, 5, 6, 7, 8 — начинающий или его партнер?

б) Каков ответ при произвольном n?

в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигрывает. Ответьте на вопросы пунктов а) и б) для этой новой игры.

г) Пусть вначале все узлы попарно связаны кабелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связь в схеме, проигрывает. Вопрос тот же: кто выигрывает при правильной стратегии для n = 4, 5, 6, 7, 8? А для произвольного n?

Замечание. Можно было бы рассмотреть четвертый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связь, выигрывает. Полное исследование этого варианта игры неизвестно.

20.

M678

2m-значное число называется справедливым, если его четные разряды содержат столько же четных цифр, сколько и нечетные. Докажите, что в любом (2m + 1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым (показано на рисунке).