358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
M661 - M680 (20)
Страницы: 1 2 » | |
1. | M661 На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P, Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно. |
13 Января 2004 19:49 | |
2. | M662 В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи. |
13 Января 2004 19:49 | |
3. | M663 Найдите все простые числа p, для которых число 2p + p2 — тоже простое. |
13 Января 2004 19:49 | |
4. | M664 Дан четырехугольник ABCD площадью S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через N, K, L, M соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника NKLM тоже равна S. |
13 Января 2004 19:50 | |
5. | M665 Световое табло состоит из нескольких лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора лампочек (для каждой кнопки — своего). Вначале лампочки не горят. а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки. б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочек, расположенных в форме прямоугольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочек (проверьте ваш ответ для небольших значений m, n)? в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров. |
13 Января 2004 19:50 | |
6. | M666 Докажите, что наименьшее общее кратное n натуральных чисел a1 < a2 < ... < an не меньше na1. |
13 Января 2004 19:51 | |
7. | M667 Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e = AC – BC. |
13 Января 2004 19:51 | |
8. | M668 Последовательность (xi) определяется условиями
|
13 Января 2004 19:52 | |
9. | M669 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что |
13 Января 2004 19:52 | |
10. | M670* а) Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняется. Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту. б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечетно? |
13 Января 2004 19:53 | |
Страницы: 1 2 » |