M661 - M680 (20)

1.

M661

На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P, Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно.

2.

M662

В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

3.

M663

Найдите все простые числа p, для которых число 2^p + p² — тоже простое.

4.

M664

Дан четырехугольник ABCD площадью S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через N, K, L, M соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника NKLM тоже равна S.

5.

M665

Световое табло состоит из нескольких лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора лампочек (для каждой кнопки — своего). Вначале лампочки не горят.

а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.

б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочек, расположенных в форме прямоугольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочек (проверьте ваш ответ для небольших значений m, n)?

в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.

6.

M666

Докажите, что наименьшее общее кратное n натуральных чисел a₁ < a₂ < ... < a_n не меньше na₁.

7.

M667

Постройте треугольник AВС, если заданы его наименьший угол A и отрезки с длинами d = AB – BC и e  = AC – BC.

8.

M668

Последовательность (x_i) определяется условиями x₁ = 1, x₂ = 0, x₃ = 2, x_n+1 = x_n-2+2x_n-1. Докажите, что для любого натурального m найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на m.

9.

M669

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что
а) отрезок, соединяющий середины дуг AB и CD, перпендикулярен отрезку, соединяющему середины дуг BC и AD;
б) центры окружностей, вписанных в треугольники АВС, ВСD, СDA и DAB, являются вершинами прямоугольника.

10.

M670*

а) Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечетно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит одновременное перекрашивание точек по следующему правилу: каждая точка, у которой большинство соседей имеет отличный от нее цвет, меняет свой цвет; в противном случае ее цвет сохраняется. Докажите, что наступит момент, начиная с которого у некоторых точек цвет не будет меняться, а у некоторых будет меняться каждую минуту.

б) Останется ли это утверждение верным, если не предполагать, что у каждой точки число соседей нечетно?