М1841 - М1860 (14)

11.

M1857

На окружности находится множество К, состоящее из k точек, делящих окружность на k равных дуг. В К взяты два подмножества М и N, содержащие m и n точек соответственно. У подмножеств М и N ровно r общих точек. Более того, на какой бы угол, кратный 2π / k, мы ни повернули подмножество N, оно по прежнему будет иметь ровно r общих точек с подмножеством М. Докажите, что r=mn / k.

12.

М1858

Даны такие натуральные числа а и b, что 2а + 1 и 2b + 1 взаимно просты. Каким может быть наибольший общий делитель чисел 2^2а+1 + 2^а+1 + 1 и 2^2b+1 + 2^b+1 + 1?

13.

М1859

Квадратный стол площади 2 можно в два слоя покрыть четырьмя квадратными салфетками, площадь каждой из которых равна 1. Более того, это можно сделать 100 различными способами. Найдите эти способы. (Салфетки можно перегибать, но нельзя разрывать).

14.

М1860

Точка F является одним из фокусов эллипса, вписанного в выпуклый четырёхугольник ABCD (показано на рисунке). Докажите, что сумма углов AFB и CFD равна 180 °.