М1841 - М1860 (14)

1.

М1846

Докажите, что для любого натурального n и любого натурального k £ n выполняется неравенство

2.

М1847

В 8 банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, суммарное число пауков в которых чётное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую, чтобы их стало поровну. При любом ли начальном распределении пауков в банках с помощью нескольких таких операций можно добиться того, чтобы в каждой банке оказалось одинаковое число пауков?

3.

М1848

В треугольник АВС вписана окружность с центром О, которая касается сторон в точках А₁, В₁, С₁. Отрезки АО, ВО, СО пересекают окружность в точках А₂, В₂, С₂. Докажите, что площадь треугольника А₂В₂С₂. равна половине площади шестиугольника В₁А₂С₁В₂А₁С₂.

4.

М1849

Простое число p удовлетворяет равенству p² = 2ⁿ × 3^m + 1, где n и m — целые неотрицательные числа. Докажите, что p £ 17.

5.

М1850

Числа натурального ряда от 1 до n(n + 1) записаны последовательно красным и синим цветами в следующей очерёдности. Первые n чисел — красные, затем одно — синее, затем n - 1 чисел — красные, затем два — синие и т.д., наконец, одно число — красное и последние n чисел — синие. Таким образом, убывающие по численности группы красных чисел перемежаются с возрастающими по численности группами синих чисел. Докажите, что сумма синих чисел вдвое больше суммы красных чисел.

6.

М1852

Дано натуральное число n. В интервале (n²; n² + n) выбраны различные натуральные числа a и b. Докажите, что в этом интервале нет натуральных делителей числа ab, отличающихся от a и b.

7.

М1853

С числом разрешается производить следующие операции:
1) возвести в любую натуральную степень;
2) отрезать последние две цифры, умножить образованное ими число на 3 и прибавить к числу, образованному остальными цифрами.

Можно ли с помощью таких операций из числа 81 получить число 82?

8.

М1854*

Пусть f(x) — многочлен степени m ³ 2 с целыми коэффициентами. Докажите, что множество значений многочлена f(x) в целых точках содержит бесконечную геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда f(x) = a(bx + c)^m (здесь a, b, c — целые числа, a ≠ 0, b ≠ 0).

9.

М1855

Плоскости, параллельные граням прямоугольного параллелепипеда, разрезали его на меньшие параллелепипеды, которые окрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Известно, что суммарный объём чёрных равен суммарному объёму белых параллелепипедов. Докажите, что из чёрных параллелепипедов можно составить параллелепипед P, а из белых можно составить параллелепипед Q так, что P и Q будут равны.

10.

M1856

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его основания АС в точке Е, а боковых сторон — в точках М и К (показано на рисунке). Прямая МК пересекает продолжение основания в точке Р. Докажите, что прямая РО перпендикулярна прямой ВЕ.

11.

M1857

На окружности находится множество К, состоящее из k точек, делящих окружность на k равных дуг. В К взяты два подмножества М и N, содержащие m и n точек соответственно. У подмножеств М и N ровно r общих точек. Более того, на какой бы угол, кратный 2π / k, мы ни повернули подмножество N, оно по прежнему будет иметь ровно r общих точек с подмножеством М. Докажите, что r=mn / k.

12.

М1858

Даны такие натуральные числа а и b, что 2а + 1 и 2b + 1 взаимно просты. Каким может быть наибольший общий делитель чисел 2^2а+1 + 2^а+1 + 1 и 2^2b+1 + 2^b+1 + 1?

13.

М1859

Квадратный стол площади 2 можно в два слоя покрыть четырьмя квадратными салфетками, площадь каждой из которых равна 1. Более того, это можно сделать 100 различными способами. Найдите эти способы. (Салфетки можно перегибать, но нельзя разрывать).

14.

М1860

Точка F является одним из фокусов эллипса, вписанного в выпуклый четырёхугольник ABCD (показано на рисунке). Докажите, что сумма углов AFB и CFD равна 180 °.