М1841 - М1860 (14)

1.

М1846

Докажите, что для любого натурального n и любого натурального k £ n выполняется неравенство

2.

М1847

В 8 банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, суммарное число пауков в которых чётное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую, чтобы их стало поровну. При любом ли начальном распределении пауков в банках с помощью нескольких таких операций можно добиться того, чтобы в каждой банке оказалось одинаковое число пауков?

3.

М1848

В треугольник АВС вписана окружность с центром О, которая касается сторон в точках А₁, В₁, С₁. Отрезки АО, ВО, СО пересекают окружность в точках А₂, В₂, С₂. Докажите, что площадь треугольника А₂В₂С₂. равна половине площади шестиугольника В₁А₂С₁В₂А₁С₂.

4.

М1849

Простое число p удовлетворяет равенству p² = 2ⁿ × 3^m + 1, где n и m — целые неотрицательные числа. Докажите, что p £ 17.

5.

М1850

Числа натурального ряда от 1 до n(n + 1) записаны последовательно красным и синим цветами в следующей очерёдности. Первые n чисел — красные, затем одно — синее, затем n - 1 чисел — красные, затем два — синие и т.д., наконец, одно число — красное и последние n чисел — синие. Таким образом, убывающие по численности группы красных чисел перемежаются с возрастающими по численности группами синих чисел. Докажите, что сумма синих чисел вдвое больше суммы красных чисел.