1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми (16)

Задача 1.16

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что BP : AB = CR : CD = a и AS : AD = BQ : BC = b. Докажите, что отрезки PR и QS делятся точкой их пересечения в отношениях b : (1 – b) и a : (1 – a).

Рассмотрим параллелограмм ABCD1. Можно считать, что точки D и D1 не совпадают (иначе утверждение задачи очевидно). Возьмем на сторонах AD1 и CD1 точки S1 и R1 так, что SS1||DD1 и RR1||DD1. Пусть N — точка пересечения отрезков PR1 и QS1; N1 и N2 — точки пересечения прямой, проходящей через N параллельно DD1, с отрезками PR и QS соответственно. Тогда
®
N1N
 
 =  b ®
RR1
 
 = ab ®
DD1
 


и 
®
N2N
 
 = a ®
SS1
 
 = ab ®
DD1
 
.

Поэтому N1 = N2 — точка пересечения отрезков PR и QS. Ясно, что PN1 : PR = PN : PR1 = b и QN2 : QS = a.
В случае a  =  b есть более простое решение. Так как BP : BA = BQ : BC = a, то PQ||AC и PQ : AC = a. Аналогично RS||AC и RS : AC = 1 – a. Поэтому отрезки PR и QS делятся точкой их пересечения в отношении a : (1 – a).
 28 Декабря 2003     0:46 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу