1863
358
468
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Осенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)

Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.

Стоимость задач
Номер задачи 1 2а 2б 2в 3 4 5
Баллы2112555

Пусть x, y, z — любые числа из интервала (0; p/2).
Докажите неравенство

Так как x + y + z > 0, то данное неравенство равносильно следующему:

3x × cos x + 3y × cos y + 3z × cos z £ (cos x + cos y + cos z) × (x + y + z).

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим:

2x × cos x + 2y × cos y + 2z × cos z £
£ x × cos y + y × cos x + x × cos z + z × cos x + y × cos z + z × cos y.   (1)

Неравенство (1) получается сложением неравенств (2), (3) и (4):

x × cos x + y × cos y £ x × cos y + y × cos x, (2)

x × cos x + z × cos z £ x × cos z + z × cos x, (3)

y × cos y + z × cos z £ y × cos z + z × cos y. (4)

Докажем неравенство (2) (видно, что неравенства (3) и (4) получаются из (2) заменой переменных). Перенося все в правую часть, и замечая, что

x × cos y + y × cos x – x × cos x + y × cos y = (x – y) × (cos y – cos x),

получим, что (2) равносильно (5):

(x – y) × (cos y – cos x) ³ 0. (5)

Если x £ y, то cos x ³ cos y, так как функция cos x убывает на интервале (0, p/2). Значит, оба сомножителя в (5) неположительны, и неравенство верно.

Если же x ³ y, то cos x £ cos y, и, значит, оба сомножителя в (5) неотрицательны. Тем самым доказано, что (5) справедливо для любых чисел x, y из интервала (0, p/2).

 28 Февраля 2004     23:20 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу