Осенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)

Покажем сначала, что если точка A лежит в ограниченной части, то не существует точки B, лежащей с точкой A по разные стороны от всех проведенных прямых. Действительно, пусть такая точка B существует. Тогда отрезок AB пересекает все прямые. Но это означает, что луч BA (с началом в точке B) не имеет за точкой A ни одной точки пересечения с проведенными прямыми (т.к. две несовпадающие прямые пересекаются максимум в одной точке). Но тогда бесконечная часть луча BA (сам луч без отрезка BA) лежит вся в той части плоскости, что и точка A (так как нигде не пересекает границу этой части), но тогда эта часть плоскости неограничена. Противоречие.

Пусть теперь точка A лежит в неограниченной части плоскости. Обозначим эту часть F. Граница части F, очевидно, состоит из конечного числа отрезков (возможно, их нет вообще) и двух лучей l и m, которые "разбегаются" (в том смысле, что чем дальше от начала луча m взять точку, тем больше будет расстояние от этой точки до прямой, содержащей луч l). Поэтому можно провести луч k с началом в точке А, не пересекающий границу F. Причем можно добиться того, чтобы луч k не был параллелен ни одной из проведенных прямых (если он параллелен какой-то прямой, то можно повернуть его на очень маленький угол вокруг точки A). Отметим на луче k точку C и рассмотрим прямую AC. Будем говорить, что C лежит правее A. Прямая AC пересекает все проведенные прямые (т.к. не параллельна ни одной из них), и все точки пересечения лежат левее A, так как луч k не пересекал ни одну из проведенных прямых. Отметим точку B на прямой AC левее точки A и левее всех точек пересечения прямой AC с проведенными прямыми. Тогда точка B — искомая. Действительно, точки A и B лежат по разные стороны от каждой из проведенных прямых, т.к. отрезок AB пересекает любую такую прямую.