358
468
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Осенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)
Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.
Стоимость задач
| Номер задачи | 1 | 2а | 2б | 2в | 3 | 4 | 5 |
| Баллы | 2 | 1 | 1 | 2 | 5 | 5 | 5 |
а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть? б) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти? в) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь десятых? |
а) Ответ: может. Пусть в классе учатся всего 3 ученика — Саша, Маша и Даша. Предположим, что в контрольной было 3 задачи, первую из которых решила Маша, вторую — Саша, а третью — Маша и Саша. Заметим, что в этом случае мы имеем две трудные задачи 1 и 2, а также двух хороших учеников — Сашу и Машу. б) Ответ: изменится. Пусть на контрольной было X задач, а в классе Y учеников. Посчитаем, сколько всего задач было решено на контрольной, т.е. сколько правильных решений было написано. С одной стороны, их не меньше С другой стороны, каждую трудную задачу решило не более 1/4 × X учеников, и таких задач было хотя бы 3/4 × Y. Тогда, даже если каждую легкую задачу решили все ученики, весь класс решил не более 3/16 × X × Y + 1/4 × X × Y = 7/16 × X × Y задач. Но мы доказали, что их не менее 9/16 × X × Y. Противоречие. в) Ответ: изменится. Пусть, как и в пункте б), на контрольной было X задач, а в классе Y учеников. Пусть A — количество трудных задач, а B — число хороших учеников в классе. Тогда хорошие ученики решили в сумме не менее 7/10 × X × B задач. С другой стороны, каждую трудную задачу решило не более 3/10 × Y учеников, то есть хорошие ученики решили в сумме не более A × 3/10 × Y трудных и (X – A) × B легких задач. Итак, получаем неравенство Деля обе части на X × Y и заменив A/X и B/Y на a и b соответственно, получим неравенство: которое эквивалентно (a – 3/10) × (b – 3/10) £ 9/100. Но по условию, a ³ 7/10 и b ³ 7/10, то есть (a – 3/10) × (b – 3/10) ³ 16/100. Противоречие. |
13 Декабря 2003 14:34 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|