Вариант 10 класса (5)

Ответ: такой набор существует.

Решение 1 (построение примера по индукции).

Покажем, как построить набор любой длины, удовлетворяющий условию задачи.

Любое натуральное число, не являющееся полным квадратом, дает искомый набор длины 1.

Пусть M = {a₁, a₂, …, a_n} — искомый набор длины n. Пусть S — сумма всех чисел набора M. Возьмем b = k² + 1, где k — любое натуральное число, что 2k + 1 > S. Число b не совпадет ни с одним из чисел набора M, так как больше суммы всех чисел набора M. Покажем, что набор M', получаемый из M добавлением числа b, удовлетворяет условию задачи. Возьмем несколько чисел из M'. Если среди них нет числа b, то их сумма не полный квадрат, так как они входили в набор M. Если среди них есть число b, то их сумма представима в виде b + S', где S' £ S. Тогда с одной стороны b + S' ³ b > k², с другой стороны b + S' < k² + 2k + 1 = (k + 1)². То есть сумма выбранных чисел находится между квадратами двух последовательных целых чисел, то есть не может быть полным квадратом.

Таким образом, добавив в набору длины 1 еще 999 999 чисел, можно получить искомый набор из миллиона различных натуральных чисел.

Решение 2 (конкретный пример).

Рассмотрим 1000 000 различных нечетных степеней числа 10. Сумма любых нескольких таких чисел не может быть полным квадратом, так как оканчивается на нечетное число нулей.

Аналогично подойдут любые нечетные степени любого натурального числа, большего 1.