Весенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)

Предположим противное, то есть предположим, что хотя бы один из радиусов описанных окружностей маленьких треугольников строго больше радиуса описанной окружности большого треугольника. Обозначим ÐВAС = α, ÐBMC = α₁, ÐABC = β, ÐAMC = β₁, ÐACB = γ, ÐAMB = γ₁.

Заметим, что α₁ > α, поскольку точка M лежит внутри треугольника BAC, откуда сумма углов треугольника BAC при вершинах B и C больше суммы углов треугольника BMC при вершинах B и C, то есть π - α > π - α₁, а это и требовалось. Аналогично β₁ > β и γ₁ > γ.

Для радиуса R описанной окружности вокруг треугольника с углом α и противолежащей стороной a верна формула 2R = a / (sin α).

У треугольников BAC и BMC сторона BС общая, а радиус описанной окружности не меньше у второго треугольника, поэтому из формул для радиусов описанных окружностей получаем неравенство:

sin α ³ sin α₁    (*)

Аналогично

sin β ³ sin β₁    (*)

sin γ ³ sin γ₁    (*)

Далее рассмотрим 3 случая.

1) Если АВС — остроугольный, то все углы α, β, γ меньше 90 градусов. И тогда из неравенства sin α ³ sin α₁ и из неравенства α₁ > α следует, что α₁ ³ π - α. Аналогично получаем β₁ ³ π - β и γ₁ ³ π - γ. Сложив эти три неравенства получим α₁ + β₁ + γ₁ ³ 3π - (α + β + γ) = 2π.

Заметим, что если, по нашему предположению, одно из неравенств (*) было строгим, получится противоречие с тем, что α₁ + β₁ + γ₁ = 2π.

2) АВС — прямоугольный, угол ВAС — прямой. Тогда угол BМС тоже прямой, получаем противоречие.

3) АВС — тупоугольный, скажем, α > π / 2. Тогда из неравенства sin α ³ sin α₁ получим α₁ ³ α а для двух острых углов треугольника так же, как и в случае 1, получим β₁ ³ π - β и γ₁ ³ π - γ. Складывая эти неравенства, получаем 2π = α₁ + β₁ + γ₁ ³ 2π + (α - β - γ). Но неравенство (α - β- γ) £ 0 противоречит тому, что угол α тупой, так что этот случай невозможен.

Таким образом, исходное предположение было неверно.