Весенний тур. Тренировочный вариант. 8-9 класс (5)

Ответ: 6.

Предположим, что есть последовательность длины 6, удовлетворяющая условию, в которой все числа нечетные. Тогда каждый раз к числу прибавлялась четная цифра, иначе следующее число было бы четным. Значит, максимальная цифра первых пяти чисел четна. Докажем, что эта цифра для этих пяти чисел одна и та же. Действительно, каждый раз к числу прибавляется не больше 10, то есть каждая цифра числа, не считая последней, увеличивается не более чем на 1. Но последняя цифра не может быть максимальной (кроме как в последнем числе последовательности). А значит, если максимальная цифра меняется, то она увеличивается ровно на 1 и становится нечетной. Противоречие.

Предположим, что n — первое число, а q — максимальная цифра. Тогда наша последовательность выглядит так: n, n + q, n + 2q, n + 3q, n + 4q, n + 5q. Если среди последних цифр первых пяти чисел нет 9, то различных последних цифр не более 4, и по принципу Дирихле есть две одинаковые последние цифры. Пусть последние цифры чисел n + iq и n + jq одинаковы (где i < j). Тогда их разность (i - j) × q делится на 10. Но i - j < 5 и значит не делится на 5. Цифра q — четная, не равна нулю и значит тоже не делится на 5. Поэтому (i - j) × q не делится на 10.

Следовательно, среди последних цифр есть 9. Но это значит, что q не было самой большой цифрой числа (ей была 9). Противоречие. Значит, шести таких чисел не существует. А для пяти есть пример: 807, 815, 823, 831, 839.