Задачи первого тура боев (11)

Ответ: нельзя.

a) Для каждого числа есть только два числа, не соседних с ним (рисунок 16). Если соединить несоседние числа отрезками, то получиться цикл, в котором 5 ребер. Тогда, если одно из чисел a, то следующее в цикле — a ± 6, следующее — (a ± 6) ± 6, и так далее. Вернувшись к первому числу, получим, что

a ± 6 ± 6 ± 6 ± 6 ± 6 = a.

Это равенство не может выполняться ни при одной комбинации знаков, потому что количества плюсов и минусов будут разными (так как всего их — нечетное число).

b) Два числа, между каждым из которых и данным стоит ровно 48 чисел, являются соседними. Если соединить отрезками пары чисел так же, как и в пункте a), то получиться цикл соединяющий все числа (это следует из построения; показано на рисунке справа). В цикле 99 чисел. Повторим рассуждения решения пункта a): если одно из чисел a, то следующее в цикле — a ± 1, следующее — (a ± 1) ± 1, и так далее; вернувшись к первому числу, получим, что

a ± 1 ± 1 ± … ± 1 = a

(всего число 1 прибавляется или вычитается 99 раз). Это равенство также не может выполняться ни при одной комбинации знаков.

c) Исходя из решения предыдущих пунктов, достаточно доказать, что если соединить отрезками пары чисел, между которыми стоит ровно 4 числа, то получиться цикл, состоящий из всех 99 чисел. Переходя от одного числа по отрезку до другого, мы передвигаемся “на 5 чисел”. Если через n таких передвижений мы вернемся к первоначальному числу, сделав m кругов, то передвинемся, с одной стороны, на 5n чисел, с другой стороны, на 99m. То есть, 5n = 99m. Так как 5 и 99 — взаимно простые числа, то наименьшее n равно 99. Значит, все 99 чисел в цикле будут.