Третий тур боев (9)

1.

Какое наибольшее число игр может пройти в однокруговом турнире шести команд, чтобы среди любых четырех команд нашлись две, не игравшие друг с другом?

2.

У 13 малышей в детском саду есть кубики 12 цветов. Каждый малыш построил 13ти этажную башню (то есть из 13 кубиков). Если два малыша обнаруживают, что у них совпал цвет какого-то этажа, то они жмут друг другу руку. Обязательно ли найдутся два малыша, которые должны пожать друг другу руку дважды?

3.

У каждого из троих ребят есть старинные монеты. У первого и второго вместе на 6 монет больше, чем у второго и третьего. Сколько монет у каждого, если у всех троих всего 10 монет?

4.

Грани кубика нумеруются числами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Пару соседних граней назовем хорошей, если они занумерованы числами, отличающимися на 1. Какое наименьшее число хороших пар может быть на кубике?

5.

Можно ли расставить на шахматной доске числа от 1 до 64 так, чтобы сумма чисел в любых двух клетках, имеющих общую сторону или вершину, не делилась на 4?

6.

Квас заполняет несколько бутылей по 50 литров каждая. Если ее разлить в сорокалитровые бутыли, то понадобится на 5 бутылей больше, причем одна из них останется неполной. Если этот же квас разлить в бутылки по 70 литров, то на 4 бутылки меньше, и тоже одна бутылка останется неполной. Сколько было кваса?

7.

Укажите наименьшее число n такое, что произведение любых n подряд идущих целых чисел делится на 1998.

8.

Первоклассник Витя взял несколько спичек и выложил из них квадрат, разбитый на клетки со стороной в одну спичку (пример показан на рисунке). При этом у него осталось 14 лишних спичек. Когда Витя попытался сложить такой квадрат больших размеров, то у него не хватило 14 спичек. Сколько спичек могло быть у Вити?

9.

Около каждой вершины треугольника написано число. На каждой стороне треугольника записали сумму чисел, стоящих на ее концах. Затем каждое число, стоящее у вершины, сложили с числом, записанным на противоположной стороне. Может ли среди трех получившихся сумм быть различные?