Второй тур боев (11)

1.

В жилые дома стали ставить новые лифты, в которых имеется только две кнопки: при нажатии на первую лифт поднимается на 5 этажей вверх, а при нажатии на вторую – на 3 этажа вниз. (Если лифт не может выполнить одну из операций, то кнопка не срабатывает). Какое наименьшее число этажей должен иметь дом, чтобы с помощью этого лифта с любого этажа можно было попасть на любой другой?

2.

Гимназисты Ваня и Саша написали на доске три числа 5 и четыре числа 2. Затем Ваня перемножил некоторые из них, а Саша перемножил остальные, после чего Ваня написал на доске наибольший общий делитель этих чисел, а Саша — наименьшее общее кратное. Узнав об этом, учительница математики Вера Федоровна, не зная как ребята поделили числа и не зная, какие числа были выписаны на доску, назвала произведение выписанных НОД и НОК. Какое число назвала Вера Федоровна?

3.

На прямой поставили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке, и так несколько раз. Может ли после нескольких операций на прямой оказаться 1998 точек?

4.

Докажите, что все числа ряда 16, 1156, 111556, ... (каждое число, начиная со второго, получается вписыванием с середину числа 15) являются квадратами целых чисел.

5.

Братец Кролик решил сбегать к Винни-Пуху, чтобы узнать, в какое время нужно начинать праздновать Новый Год. Но вся дорога к Винни состоит только из подъемов и спусков, а Кролик на подъеме за час преодолевает 2 км, а на спуске — 3 км. Какое время затратит на дорогу туда и обратно Кролик, если от его дома до дома Пуха ровно 6 км?

6.

Фигуру, изображенную на рисунке нужно разрезать по сторонам квадратиков на 4 равные части так, чтобы никакие 4 квадратика, составляющие квадрат 2 ´  2 не попали в одну часть. Можно ли это сделать двумя разными способами?

7.

Hезнайка хочет составить число так, чтобы все цифры, входящие в его запись были различны, а любые две цифры, стоящие подряд, составляли простое число. Какое наибольшее число может у него получиться?

8.

В ряд выписано 100 чисел. Среднее арифметическое всех без первого — 1997, всех без последнего — 1998, первого и последнего — 50,5. Каково среднее арифметическое всех чисел?

9.

Найти все четырехзначные числа, которые при сложении с суммой своих цифр дают пятизначное число.

10.

Можно ли фигуру, изображенную на рисунке разрезать по сторонам квадратиков на 4 равные части так, чтобы никакие 4 квадратика, составляющие квадрат 2 ´ 2 не попали в одну часть?

11.

Имеет ли решение ребус (одинаковые буквы заменяются равными цифрами, разные буквы — разными цифрами, звездочки заменяются на любые цифры):