358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Второй тур боев (11)
Гимназисты Ваня и Саша написали на доске три числа 5 и четыре числа 2. Затем Ваня перемножил некоторые из них, а Саша перемножил остальные, после чего Ваня написал на доске наибольший общий делитель этих чисел, а Саша — наименьшее общее кратное. Узнав об этом, учительница математики Вера Федоровна, не зная как ребята поделили числа и не зная, какие числа были выписаны на доску, назвала произведение выписанных НОД и НОК. Какое число назвала Вера Федоровна? |
Ответ: 2000. Покажем, что произведение чисел, получившихся у Вани и Саши, при любом начальном распределении чисел равно 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 = 2000. Лемма. Для любых натуральных a, b выполняется:
Действительно, если x — произведение простых множителей, общих для a и b, то a = a1x, b = b1x и НОД(a, b) = x. Тогда НОК(a, b) = a1b1x. Отсюда, НОД(a, b) × НОК(a, b) = (a1x)(b1x) = ab. Тогда, из леммы следует, что произведение НОД(a, b) × НОК(a, b) в любом случае равно произведению полученных Ваней и Сашей чисел, то есть произведению начальных чисел. |
16 Ноября 2003 12:25 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|